Robert Lundström, född den 1 november 1989 på Sundsvalls sjukhus, inledde som sjuåring sitt fotbollsspelande i moderklubben Kubikenborgs IF. Från moderklubben bytte han till GIF Sundsvalls juniorlag. Därefter följde en kort sejour i IFK Timrå och A-lagsdebuten skedde i den andra omgången av Division 2 Norrland hemma mot Skellefteå FF (2–4) inför 225 åskådare på Timrå IP den 3 maj 2008 då han byttes in i den 80:e minuten. Det blev ytterligare ett inhopp innan han lämnade klubben. Sommaren 2008 kom han till GIF Sundsvalls samarbetsklubb Medskogsbrons BK i Sundsvall. Laget spelade i Division 3 Södra Norrland och debuten skedde hemma mot Rengsjö SK (3–2) i den nionde omgången inför 57 åskådare på Viforsplan i Sundsvall den 19 juni 2008. Robert Lundström spelade från start och svarade för 1–0-målet i den 19:e minuten och segermålet i den 89:e minuten. Det blev sammanlagt tolv matcher från start då Medskogsbrons BK slutade på femte plats i tabellen och han svarade för elva mål.

Den 8 januari 2009 gjorde GIF Sundsvall klart med Robert Lundström då ett tvåårsavtal blev klart efter att han under hösten 2008 tränat med A-laget. Tävlingsdebuten för GIF Sundsvall skedde i den andra omgången av Superettan borta mot IFK Norrköping (2–2) inför 5 227 åskådare på Idrottsparken den 20 april 2009. Robert Lundström spelade hela matchen som högerback efter att Billy Berntsson tvingats lämna återbud till matchen med en knäskada. i mitten av maj förlängde Lundström och “Giffarna” kontraktet med två år, till och med 2012. Det första målet kom hemma mot Vasalunds IF (2–0) inför 2 240 åskådare på Norrporten Arena den 20 maj 2009 då han med en bredsida i öppet mål fastställde slutresultatet i den 68:e minuten och han följde upp med ytterligare ett mål borta mot Jönköpings Södra IF (6–4) då han svarade för 5–4-målet i den 88:e minuten. Det blev sammanlagt 23 matcher, varav 17 från start, i Superettan då “Giffarna” slutade på femte plats i tabellen, fyra poäng från en allsvensk kvalplats.

Inför säsongen 2010 råkade Robert Lundström ut för en fraktur i ena foten strax innan seriestart och skadan höll honom borta i två månader. Den 19 juni 2010 var han tillbaka i matchtruppen borta mot Östers IF (2–0) och han ersatte Ari Freyr Skúlason i den 87:e minuten. Det blev under året sammanlagt 15 matcher, varav 6 från start, då GIF Sundsvall slutade på tredje plats och ställdes mot Gefle IF FF i kvalet till Allsvenskan. 0–1 hemma på Norrporten Arena efter inhopp av Robert Lundström följdes upp av en 0–2-förlust på Strömvallen i Gävle. Lundström noterades för ett mål i Superettan hemma mot Falkenbergs FF (3–3) då han svarade för 3–2-målet i den 91:a minuten.

Efter att ha snubblat på mållinjen 2010 slutade GIF Sundsvall på andra plats i Superettan 2011 och säkrade därmed det allsvenska avancemanget. Robert Lundström spelade 25 seriematcher, varav 13 från start, under året. Två mål blev facit för backen, hemma mot Qviding FIF (4–0) och hemma mot Ängelholms FF (6–0). Robert Lundströms debut i landets högsta serie skedde i den tredje omgången hemma mot Syrianska FC (4–0) den 12 april 2012 då han spelade från start innan han byttes ut i den 84:e minuten.

Det blev sammanlagt 25 matcher, varav 17 från start, då “Giffarna” slutade på 14:e plats vilket betydde kvalspel mot Halmstads BK. Robert Lundström spelade bägge kvalmatcherna från start och HBK tog den allsvenska platsen efter sammanlagt 6–4 i dubbelmötet. Efter säsongen kom Robert Lundström och GIF Sundsvall överens om ett nytt treårsavtal, till och med 2015.

2013 slutade GIF Sundsvall på tredje plats i Superettan, efter Falkenbergs FF och Örebro SK, och ställdes mot Halmstads BK i det allsvenska kvalet. Efter 1–1 på Norrporten Arena föll “Giffarna” med 1-2 på Örjans vall efter att ha varit i halvtidsledning. Robert Lundström spelade 20 seriematcher, varav 14 från start, samt de två kvalmatcherna, varav en från start, under året. Efter att snöpligt ha fallit mot HBK i kvalet tog GIF Sundsvall revansch 2014 då man tillsammans med Hammarby gick upp i Allsvenskan. Robert Lundström spelade 29 seriematcher från start under året.

Under comebacken i Allsvenskan spelade Robert Lundström 17 seriematcher från start och noterades för ett mål. Målet kom borta mot Hammarby (2–1) den 11 maj 2015 då han i den 39:e minuten svarade för 1–1-målet. Den 25 juli 2015 kom Vålerenga Fotboll och Robert Lundström överens om ett treårsavtal med start den 1 januari 2016, men Oslo-klubben kom strax därefter överens med GIF Sundsvall om en övergång redan den 4 augusti 2015. Debuten skedde tre dagar senare då Vålerenga Fotboll tog emot Tromsø IL (1–0) hemma på Ullevaal Stadion inför 7 629 åskådare i Tippeligaen och Lundström spelade hela matchen. I sin andra match från start, borta mot Rosenborg BK (0–2) en vecka senare, drog han på sig två gula kort och blev avstängd en match. Sammanlagt spelade han nio matcher från start under hösten i Tippeligaen då Vålerenga Fotboll slutade på sjunde plats i tabellen.

2016 spelade Robert Lundström sammanlagt 20 matcher, varav 16 från start, i Tippeligaen och noterades för sex målgivande passningar då Vålerenga Fotboll slutade på tionde plats i tabellen. Han spelade också två inhemska cupmatcher från start. 2017 noterade han det första målet hemma mot Kristiansund BK (1–0) i den nionde omgången inför 7 226 åskådare på Ullevaal Stadion den 16 maj 2017 då han svarade för segermålet i den 53:e minuten efter att ha tagit sig fram längs högerkanten och satt bollen bakom den irländske målvakten Sean McDermott. Sammanlagt spelade han 28 matcher från start i Tippeligaen och noterades för ett mål och sju målgivande passningar då Vålerenga Fotboll slutade på åttonde plats i tabellen. Han spelade också fyra inhemska cupmatcher från start. Det blev totalt 63 tävlingsmatcher för Vålerenga Fotboll för Robert Lundström.

Den 21 december 2017 meddelade AIK Fotboll att man var överens med Robert Lundström och Vålerenga Fotboll om en övergång av spelaren och avtalet sträckte sig över 2020. Debuten för AIK skedde i den första gruppspelsmatchen i Svenska cupen, hemma mot Syrianska FC (2–1) inför 8 000 åskådare på Tele2 Arena i Stockholm den 17 februari 2018 då han under chefstränaren Rikard Norlings ledning spelade hela matchen i tröja nummer 15. Det första målet kom i den allsvenska premiären, hemma mot Dalkurd FF (2–0) inför 30 334 på Friends Arena i Solna den 2 april 2018 då Robert gav AIK ledningen i den 33:e minuten. Nicolás Stefanelli spelade ut bollen till Robert till höger i straffområdet och han överraskade bortamålvakten Abdülaziz Demircan med ett hårt högt skott vid den närmaste stolpen, innan han jublade tillsammans med hemmapubliken och tilldelades ett gult kort.

Robert Lundström var ett av utropstecknen under inledningen av säsongen, men i hemmamötet med IFK Göteborg (2–0) inför 19 619 åskådare på Friends Arena den 22 april 2018 var olyckan framme och säsongen över. I den sjätte minuten anföll AIK på högerkanten och Robert försökte ta sig förbi sin motståndare, men föll till marken och det stod omgående klart att det var allvarligt och två minuter senare lämnade han planen på bår med en konstaterad korsbandsskada i vänster knä och operation samt en längre rehab följde. Det blev tio matcher från start för honom under den första säsongen i AIK och han svarade för ett mål.