Oscar Linnér, född söndagen den 23 februari 1997 på Danderyds sjukhus utanför Stockholm, inledde som femåring sitt fotbollsspelande i moderklubben Stocksunds IF där han spelade till tioårsåldern då hela laget flyttade över till FC Djursholm. I FC Djursholm spelade han sju- och elvamannafotboll och årskullen var framgångsrika både nationellt och internationellt. Det blev under två säsonger även spel i Pojkallsvenskan då laget tog sig till slutspel.

Han lämnade FC Djursholm under hösten 2009 för att fortsätta i IF Brommapojkarna där han spelade med deras P97:or, men återvände efter säsongen till FC Djursholm igen för att kunna träna mer istället för att lägga tid på att pendla. Som 15-åring återvände Oscar till BP, men ratades av klubben på Grimsta IP och 2013 och 2014 tillbringade han med FC Djursholms U17-lag då man slutade fyra och trea i U17 Allsvenskan Norra. I december 2014 skrev Oscar Linnér kontrakt med AIK efter att ha provtränat med klubbens U19-lag. Under inledningen av 2015 tränade han med AIK:s A-lag och efter det blev han kvar i verksamheten på Karlbergs träningsanläggning.

Debuten för AIK skedde den 2 juli 2015 under chefstränaren Andreas Alms ledning, borta mot VPS (2–2) i Uefa Europa Leagues första kvalomgång som spelades inför 2 180 åskådare på Raatin stadion i finska Uleåborg då VPS ordinarie hemmaplan Sandvikens fotbollsstadion hemma i Vasa inte var godkänd för spel i Europa. Oscar Linnér blev uttagen i matchtruppen då AIK:s kanadensiske målvakt Kyriakos Stamatopoulos var uttagen för att spela CONCACAF Gold Cup i USA/Kanada mellan den 6 och 26 juli. Förstemålvakten Patrik Carlgren flög under matchdagen in till Finland från Prag efter att två kvällar innan ha vunnit EM-guld med det svenska U21-landslaget efter stor straffdramatik. Oscar Linnér inledde på bänken i tröjnummer 34, men fick ersätta knäskadade Patrik Carlgren i den 29:e minuten vid ställningen 0–0. VPS gick fram till en 2–0-ledning, men AIK kom tillbaka från de döda efter två sena mål av Nabil Bahoui.

Den första allsvenska matchen spelade han tre dagar senare då AIK den 5 juli 2015 mötte Kalmar FF (0–0) inför 8 479 åskådare på Guldfågeln Arena och Oscar höll även nollan i matchen efter att ha noterats för en räddning i matchen. Det blev fyra tävlingsmatcher under debutsäsongen i AIK. Under 2016 stod han i tre tävlingsmatcher, varav två allsvenska matcher, och höll nollan i två av dem. Under vintern lämnade förstemålvakten Patrik Carlgren klubben då kontraktet löpte ut och Oscar Linnér fick som nybliven 20-åring chansen att på allvar ta rollen som förstemålvakt i AIK. Han inledde tävlingssäsongen med att hålla nollan i de tre gruppspelsmatcherna i Svenska cupen innan BK Häcken väntade i kvartsfinalen på Bravida Arena. Linnér svarade för en fantastisk enhandsräddning i den andra halvleken för att hålla matchen mållös, men han var chanslös då mittbacken Rasmus Lindgren fick drömträff från långt håll. I slutminuterna flyttade AIK upp spelare vilket ledde till ytterligare två baklängesmål.

De första månaderna i Allsvenskan var tuffa för en ung målvakt i Sveriges största klubb och kritiken var hård efter två insläppta mål borta mot Jönköpings Södra IF (1–2) den 22 april 2017, men trots detta höll Oscar Linnér nolla efter nolla i seriespelet. Orutinen hjälpte dock till i det faktum att han drog på sig tre gula kort under de första åtta omgångarna vilket gjorde att han var avstängd i bortaderbyt mot Djurgården (1–0) där andremålvakten Kyriakos Stamatopoulos blev stor matchhjälte efter att ha svarat för en av sina bästa insatser i AIK-tröjan. I Uefa Europa League ställdes AIK i de två första kvalomgångarna under sommaren mot KÍ Klaksvík samt FK Željezničar och Oscar Linnér höll nollan i de fyra matcherna.

I den tredje kvalomgången väntade portugisiska SC Braga och efter 1–1 på Friends Arena väntade returen inför 13 851 åskådare på Estádio Municipal de Braga. AIK tog ledningen i den första halvleken genom Chinedu Obasi och var på väg mot en skrällseger, men då kom kvitteringen efter att den unge AIK-målvakten missbedömt studsen på ett inlägg och bollen hamnade till slut i AIK-målet. Med sekunder kvar av förlängningen avgjorde också hemmalaget. Kritiken var massiv mot den 20-årige målvakten, men istället för att vika ner sig visade Oscar Linnér upp ett oerhört starkt psyke och matchen blev något av en vändpunkt för honom i karriären. Efter landslagsuppehållet i september lyfte han sitt spel till ännu en ny nivå och han bidrog starkt till att AIK slutade tvåa i Allsvenskan.

Under 2018 lös det självförtroende om Oscar Linnér och han bidrog till det starka försvarsspelet som AIK visade upp redan från början av säsongen. Efter fyra nollor i AIK:s tävlingsmatcher skadade han sitt ena knä under träningen på Karlberg den 25 april vilket innebar att han missade resten av vårsäsongen och ersattes mellan stolparna av Budimir Janošević. Efter VM-uppehållet var Oscar Linnér tillbaka i AIK-målet igen och fortsatte att spela stabilt med följd av att segrarna och nollorna rullade in på kontot. Det blev sammanlagt 13 allsvenska nollor under säsongen på de 21 spelade matcherna och i hemmamötet med Örebro SK (1–1) inför 21 023 åskådare på Friends Arena var han nära att bli en stor matchhjälte då han med högerfoten räddade en straffspark i den 86:e minuten, men efter en utvisning orkade AIK inte hålla undan och gästerna kvitterade på stopptid.

AIK fortsatte guldjakten under avslutningen av säsongen, men en ljumskskada i den 28:e omgången borta mot Östersunds FK (2–1) gjorde att han missade de två avslutande matcherna då AIK säkrade sitt tolfte allsvenska guld efter endast 16 insläppta mål på de 30 allsvenska matcherna. Oscar Linnér var 21 år då han vann sitt första SM-guld och han är därmed klubbens yngste förstemålvakt med ett SM-tecken sedan Allsvenskans start 1924. Oscar Linnér har inför säsongen 2019 spelat 76 tävlingsmatcher för AIK och hållit nollan i 38 av dem, d v s i exakt hälften av de spelade matcherna.

Oscar Linnér debuterade i det svenska P18-landslaget den 11 juni 2015 under förbundskapten Tomas Turessons ledning då han stod hela bortamatchen mot Makedonien (2–3) på FFM Training Centre i Skopje. Sommaren 2018 debuterade Oscar i U21-landslaget då man i EM-kvalet den 7 juni under förbundskapten Roland Nilssons ledning mötte Malta (4–0) på Centenary stadium i Ta’ Qali. På dagen tre månader senare spelade han sin andra U21-landskamp då Sverige tog emot Ungern (1–0) inför 2 601 åskådare på Falcon Alkoholfri Arena i Falkenberg. Sammanlagt har det inför säsongen 2019 blivit två U21-landskamper och fem U19-landskamper för honom.